Question

某校高三数学竞赛初赛后，对考生成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[90，100），第二组[100，110），…，第六组[140，150]．如图所示为其频率分布直方图的一部分，第四组，第五组，第六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人．
（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M；（计算时可以用组中值代替各组数据的平均值）
（Ⅱ）现根据初赛成绩从第四组和第六组中任意选2人，记他们的成绩分别为x，y，若|x-y|≥10，则称此2人为“黄金帮扶组”，试求选出的2人为“黄金帮扶组”的概率．

Answer 1

分析：（I）设第四组，第五组的频率分别为a、b，根据第四组，第五组，第六组的人数依次成等差数列和所以小矩形的面积和为1，列出方程求a、b的值；
（II）先求出第四，第六组人数，根据满足条件|x-y|≥10，说明选自不同的组，再求出分别从两个小组中各选1人的选法种数，利用古典概型概率公式计算．

解答：解：（I）∵第六组的频率为0.005×10=0.05，
∴样本容量为

4

0.05

=80，
设第四组，第五组的频率分别为a、b，
则第四组，第五组的人数分别为80a，80b，
则a+b=1-10×（0.005+0.015+0.020+0.035）=0.25
又第四组，第五组，第六组的人数依次成等差数列，
∴80×0.05+80a=2×80b⇒2b=a+0.05，
解得a=0.15，b=0.1．
∴第四组、第五组小矩形的高分别为0.015，0.010．

（II）依题意，知第四组人数为4×

0.015

0.005

=12，而第六组有4人，
所以第四组和第六组一共有16人，
从中任选2人，一共有C

2 16

=120（种）选法，
若满足|x-y|≥10，则一定是分别从两个小组中各选1人，
因此有C

1 12

C

1 4

=48（种）选法，
所以选出的2人为“黄金帮扶组”的概率为

48

120

=

2

5

．

点评：本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了古典概型的概率计算；解题的关键是读懂频率分布直方图的数据．