Question

（2012•烟台一模）已知函数f(x)=

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x3-bx2+2x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[1，+∞）时，f(x)-

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＞a2恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用x=2是f（x）的一个极值点，可得f'（2），从而可求b的值，进而利用f'（x）＞0可得函数f（x）的单调增区间，f'（x）＜0可得函数f（x）的单调减区间；
（2）x∈[1，+∞）时，f(x)-

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＞a2恒成立等价于a2＜f(x)min-

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，x∈[1，+∞)，由此可求a的取值范围．

解答：解：（1）求导函数，可得f'（x）=x²-2bx+2
∵x=2是f（x）的一个极值点
∴f'（2）=4-4b+2=0，∴b=

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，--------------------------------------------（2分）
∴f'（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）------------------------------------------（4分）
由f'（x）＞0得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞）；------（6分）
由f'（x）＜0得1＜x＜2，∴函数f（x）的单调减区间为（1，2），---------------------（8分）
（2）由（1）知，函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（x）_min=f（2）=a+

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，------------------（10分）
x∈[1，+∞）时，f(x)-

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＞a2恒成立等价于a2＜f(x)min-

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，x∈[1，+∞)-----------（12分）
即a²-a＜0，
∴0＜a＜1．----------------------------------------------------（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与单调性，考查恒成立问题，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性，恒成立问题利用分离参数法求解．