【题目】己知椭圆 (m>n>0)的离心率e的值为 ,右准线方程为x=4.如图所示,椭圆C左右顶点分别为A,B,过右焦点F的直线交椭圆C于M,N,直线AM,MB交于点P.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点P(4, ),直线AN,BM的斜率分别为k1 , k2 , 求 .
(3)求证点P在一条定直线上.
【答案】
(1)解:∵椭圆 (a>b>0)的离心率e的值为 ,即 ,右准线方程为x=4,即
解得:a=2,c=1,
∵a2=b2+c2
∴b= .
故得椭圆的标准方程为:
(2)解:点P(4,3 ),A(﹣2,0),故得直线AP方程为y= ,与椭圆方程 联立,求解M的坐标为(0, ),
那么可得MN直线方程为y=1﹣3x,与椭圆方程 联立,求解N的坐标为( , ),
那么AN的斜率为k1= ,BM的斜率k2= ,则 =
(3)解:设斜率存在的MN的直线方程为y=k(x﹣1),利用设而不求的思想,M(x1,y1),N(x2,y2),
与椭圆方程 联立,可得:(4k2+3)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,
那么: …①, …②
由A,M的坐标可得直线AM的方程为 ,
由B,N的坐标可得直线BN的方程为 ,4
直线AM与直线BN联立,可得: ,
∴ …③,
将①②代入③
解得:x=4.
故点P在直线x=4上.
当k不存在时,经验证,点P在直线x=4上满足题意
【解析】(1)利用椭圆C的离心率为 ,右准线的方程为x=4,建立方程,求出几何量,可得椭圆C的方程;(2)利用A,P点,求出直线AP,与椭圆方程求解M的坐标,直线MF与椭圆联立求出N的坐标,可得AN,BM的斜率分别为k1 , k2 , 可求 的值.(3)设出MN的直线方程y=k(x﹣1),利用设而不求的思想,M(x1 , y1),N(x2 , y2),表示出AN直线,BM直线的方程.AN直线与BM直线联立方程求解p的坐标,可得P在一条定直线上.
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【题目】某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元,未租出的车每辆每月需要维护费50元.
(Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时,能租出多少辆车?
(Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少?
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【题目】下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是( )
A.f(x)=x
B.f(x)=x3
C.f(x)=( )x
D.f(x)=3x
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【题目】已知椭圆曲线方程为 ,两焦点分别为F1 , F2 .
(1)若n=﹣1,过左焦点为F1且斜率为 的直线交圆锥曲线于点A,B,求△ABF2的周长.
(2)若n=4,P圆锥曲线上一点,求PF1PF2的最大值和最小值.
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【题目】对任意实数a,b定义运算“⊙”:a⊙b= 设f(x)=2x+1⊙(1﹣x),若函数f(x)与函数g(x)=x2﹣6x在区间(m,m+1)上均为减函数,且m∈{﹣1,0,1,3},则m的值为( )
A.0
B.﹣1或0
C.0或1
D.0或1或3
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【题目】已知集合 ,设f:x→2x﹣3是集合C={﹣1,1,n}到集合B={﹣5,﹣1,3}的映射.
(1)若m=5,求A∩C;
(2)若﹣2∈A,求m的值.
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【题目】【2017河北唐山二模】某仪器经过检验合格才能出厂,初检合格率为:若初检不合格,则需要进行调试,经调试后再次对其进行检验;若仍不合格,作为废品处理,再检合格率为.每台仪器各项费用如表:
项目 | 生产成本 | 检验费/次 | 调试费 | 出厂价 |
金额(元) | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
(Ⅰ)求每台仪器能出厂的概率;
(Ⅱ)求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率(注:利润出厂价生产成本检验费调试费);
(Ⅲ)假设每台仪器是否合格相互独立,记为生产两台仪器所获得的利润,求的分布列和数学期望.
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【题目】【2017镇江一模20】已知函数,(为常数).
(1)若函数与函数在处有相同的切线,求实数的值;
(2)若,且,证明:;
(3)若对任意,不等式恒成立,求实数的取值范围.
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