【题目】已知点在椭圆
上,
为椭圆
的右焦点,
分别为椭圆
的左,右两个顶点.若过点
且斜率不为0的直线
与椭圆
交于
两点,且线段
的斜率之积为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知直线与
相交于点
,证明:
三点共线.
【答案】(1);(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)根据点在椭圆上和
的斜率之积为
可得到关于
的方程组,解方程组后可得椭圆的方程.(2)由(1)可得
轴,要证
三点共线,只需证
轴,即证
,即证直线
与
交点的横坐标为1.根据题意可得直线
,
,故只需证当x=1时,
成立即可,结合由直线
的方程和椭圆方程联立消元后得到的二次方程可得
显然成立,故得所证结论成立.
试题解析:
(1)∵点在椭圆
,
∴①.
设,由线段
的斜率之积为
得,
,
∴②,
由①②解得, ,
.
所以椭圆的方程为
.
(2)由(1)可得轴,要证
三点共线,只需证
轴,即证
.
由消去y整理得
,
∵直线与椭圆
交于
两点,
∴
设,
,
则,
(*),
因为直线,
,
即证: ,
即证
.
即证.
将(*)代入上式可得,
整理得.
此式明显成立,故原命题得证.
所以三点共线.
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【题目】如图(1)五边形中,
,将
沿
折到
的位置,得到四棱锥
,如图(2),点
为线段
的中点,且
平面
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若直线与所成角的正切值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】四棱台被过点的平面截去一部分后得到如图所示的几何体,其下底面四边形
是边长为2的菱形,
,
平面
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若与底面
所成角的正切值为2,求二面角
的余弦值.
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【题目】已知直线y=x+b与函数f(x)=ln x的图象交于两个不同的点A,B,其横坐标分别为x1,x2,且x1<x2.
(1)求b的取值范围;
(2)当x2≥2时,证明x1·<2.
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【题目】已知是抛物线
上的两个点,点
的坐标为
,直线
的斜率为
.设抛物线
的焦点在直线
的下方.
(Ⅰ)求k的取值范围;
(Ⅱ)设C为W上一点,且,过
两点分别作W的切线,记两切线的交点为
. 判断四边形
是否为梯形,并说明理由.
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