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    【题目】对于正整数，若存在1，2，…，的一个排列满足

    （），则称为“循球数”.证明：

    （1）9、11都是循环数；

    （2）为循环数的一个必要不充分条件是为质数.

    【答案】（1）见解析（2）见解析

    【解析】

    （1）易知，“1，2，4，8，3，6，7，5，9”和“1，2，4，8，7，9，5，10，3，6，11”分别是“1，2，…，9”和“1，2，…，11”的满足循环数定义的排列.故9、11都是循环数.

    （2）若不是质数，由，知存在质数和奇数，使得.

    若为循环数，“”是“1，2，…，”的一个排列，满足循环数定义，由循环性，不妨设，于是，，…，存在，使得，，，或.

    显然，每项都具有“的整数倍加或减2的整数次幂”的形式.

    由和，得.

    从而，.

    故.

    因此，为质数是为循环数的必要条件.

    由是质数，易知，8不是循环数.

    练习册系列答案
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    不满意

    基本满意

    满意

    非常满意

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