Question

2．在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为$\sqrt{3}$的圆柱．
（1）求：圆柱表面积的最大值；
（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．

Answer 1

分析 （1）我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案；
（2）求出圆柱的外接球半径，即可求该圆柱外接球的表面积和体积．

解答 解：（1）当圆柱内接于圆锥时，圆柱的表面积最大．
设此时，圆柱的底面半径为r，高为h′．
圆锥的高h=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
又∵h′=$\sqrt{3}$，
∴h′=$\frac{1}{2}$h．∴$\frac{r}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$，∴r=1．
∴S_表面积=2S_底+S_侧=2πr²+2πrh′
=2π+2π×$\sqrt{3}$=2（1+$\sqrt{3}$）π．（6分）
（2）设圆柱的外接球半径为R.$R=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$，
∴S=7π$V=\frac{{7\sqrt{7}π}}{6}$（12分）

点评 本题考查的知识点是圆柱的表面积，其中根据已知条件，求出圆柱的底面半径，是解答本题的关键．