【题目】已知函数.
(Ⅰ)求函数的单调区间;
(Ⅱ)若对定义域每的任意
恒成立,求实数
的取值范围;
(Ⅲ)证明:对于任意正整数,不等式
恒成立。
【答案】. 。
(Ⅰ)当时,若
,则
,若
,则
,故此时函数
的单调递减区间是
,单调递增区间是
;
当时,
的变化情况如下表:
单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
所以函数的单调递增区间是
,单调递减区间是
;
当时,
,函数
的单调递增区间是
;
当时,同
可得,函数
的单调递增区间是
,单调递减区间是
。
(Ⅱ)由于,显然当
时,
,此时
对定义域每的任意
不是恒成立的,
当时,根据(1),函数
在区间
的极小值、也是最小值即是
,此时只要
即可,解得
,故得实数
的取值范围是
。
(Ⅲ)当时,
,等号当且仅当
成立,这个不等式即
,当
时,可以变换为
,
在上面不等式中分别令,
所以
【解析】试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值和极值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对求导,
的根为a和1,比较a和1的大小,分四种情况分别判断
的正负,得到函数
的单调性;第二问,由
,当
时,
,此时
对定义域内的任意x不是恒成立的,当
时,利用导数求得
在区间
上取得最小值为
,由最小值大于等于0求得a的取值范围;第三问,结合第二问的结论,知
时,
恒成立,即
,再利用不等式的累加得到结论.
试题解析:(1)
当时,
在
上递减,在
上递增
当时,
在
,
上递增,在
上递减
当时,
在
上递增
当时,
在
,
上递增,
上递减
(2)由(1)知当时
当时,
不恒成立
综上:
(3)由(2)知时,
恒成立
当且仅当
时以“=”
时,
……
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【题目】在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;
(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3
,射线OM:θ=
与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.
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【题目】如图,从参加环保知识竞赛的学生中抽出名,将其成绩(均为整数)整理后画出的频率分布直方图如下:观察图形,回答下列问题:
(1)这一组的频数、频率分别是多少?
(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数。(不要求写过程)
(3) 从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选两人,求他们在同一分数段的概率.
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【题目】已知函数
,且满足
.
(1)判断函数在
上的单调性,并用定义证明;
(2)设函数,求
在区间
上的最大值;
(3)若存在实数m,使得关于x的方程恰有4个不同的正根,求实数m的取值范围.
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【题目】PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可入肺颗粒物.我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均在35微克/立方米以下空气质量为一级,在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级,在75微克/立方米以上空气质量为超标.北方某市环保局从2015年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本,监测值如下图所示(十位为茎,个位为叶).
(1)15天的数据中任取3天的数据,记表示其中空气质量达到一级的天数,求
的分布列;
(2)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年(按360天计算)中大约有多少天的空气质量达到一级.
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【题目】某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学,在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理﹑化学等其他互不相同的七个学院,现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量
的分布列.
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【题目】为了解学生身高情况,某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查,测得身高情况的统计图如图所示:
(1)估计该校男生的人数;
(2)估计该校学生身高在170~185cm的概率;
(3)从样本中身高在180~190cm的男生中任选2人,求至少有1人身高在185~190cm的概率.
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【题目】某企业准备推出一种花卉植物用于美化城市环境,为评估花卉的生长水平,现对该花卉植株的高度(单位:厘米)进行抽查,所得数据分组为,据此制作的频率分布直方图如图所示.
(1)求出直方图中的值;
(2)利用直方图估算花卉植株高度的中位数;
(3)若样本容量为32,现准备从高度在的植株中继续抽取2颗做进一步调查,求抽取植株来自同一组的概率.
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