Question

已知双曲线x²-2y²=2的左、右两焦点为F₁，F₂，动点P满足|PF₁|+|PF₂|=4，
（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；
（Ⅱ）若线段AB是曲线W的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2

3

，从而P点的轨迹W是以F₁、F₂为焦点，长轴为4的椭圆，由此能求出动点P的轨迹W的方程．
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+b，由

y=kx+b x2 4 +y2=1

，得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由已知条件利用弦长公式得k²=

3+4b2

12-4b2

，点O到直线AB的距离h=

|b|

k2+1

，△AOB面积S=

1

2

|AB|•h=h，由此能求出△AOB面积S取最大值．

解答： 解：（Ⅰ）双曲线x²-2y²=2可化为

x2

2

-y²=1，
则|F₁F₂|=2

3

  
∵|PF₁|+|PF₂|=4＞|F₁F₂|=2

3

，
∴P点的轨迹W是以F₁、F₂为焦点，长轴为4的椭圆，
由a=2，c=

3

，得b=1
∴动点P的轨迹W的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）∵线段AB的长等于椭圆短轴的长，
要使三点A、O、B能构成三角形，则弦AB不能与x轴垂直，
故可设直线AB的方程为y=kx+b，
由

y=kx+b x2 4 +y2=1

，消去y，并整理，得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

8kb

1+4k2

，x₁x₂=

4(b2-1)

1+4k2

（8分）
∵|AB|=2，∴

(1+k2)(x2-x1)2

=2．
∴（1+k²）[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=4，
∴（1+k²）[（-

8kb

1+4k2

）²-4•

4(b2-1)

1+4k2

]=4，
∴k²=

3+4b2

12-4b2

，
又点O到直线AB的距离h=

|b|

k2+1

，
∴△AOB面积S=

1

2

|AB|•h=h，
∴S²=h²=

b2

3+4b2 12-4b2 +1

=

12b2-4b4

15

=-

4

15

（b²-

3

2

）²+

3

5

，
∴当b²=

3

2

时，△AOB面积S取最大值

15

5

．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，解题时要注意韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式的合理运用．