已知椭圆方程为
,过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为
.
(1)求椭圆方程.
(2)已知为椭圆的左右两个顶点,
为椭圆在第一象限内的一点,
为过点
且垂直
轴的直线,点
为直线
与直线
的交点,点
为以
为直径的圆与直线
的一个交点,求证:
三点共线.
(1);(2)详见解析.
解析试题分析:(1)由过右焦点斜率为1的直线到原点的距离为可以得到右焦点坐标,即
的值.再由公式
可得椭圆方程.此处注意因为是右焦点,即焦点在
轴上,从而得到
对应的分母1即为
;(2)由
点坐标设出直线
的点斜式方程,联立椭圆方程求出
的坐标.易知直线
的方程,所以易求得
点坐标,由圆的性质知
,则只要
就有直线
、
重合,即
三点共线.因为点的坐标已求得,
可通过向量数量积予以证明.注意本题如选择求
点坐标则将较为繁琐,增加了解题的计算量,这里合理利用圆的直径对应的圆周角是直角这一性质,简化了运算.
试题解析:(1)设右焦点为,则过右焦点斜率为1的直线方程为:
1分
则原点到直线的距离 3分
方程
4分
(2)点坐标为
5分
设直线方程为:
,设点
坐标为
得:
6分
7分
9分
10分
由圆的性质得:
又点的横坐标为
点的坐标为
11分
11分
13分
即,又
三点共线 14分
考点:1.直线与圆锥曲线的位置关系;2.直线的方程;3.平面向量的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设抛物线的焦点为
,准线为
,
,以
为圆心的圆
与
相切于点
,
的纵坐标为
,
是圆
与
轴除
外的另一个交点.
(I)求抛物线与圆
的方程;
( II)已知直线,
与
交于
两点,
与
交于点
,且
, 求
的面积.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆:
,
(1)若椭圆的长轴长为4,离心率为,求椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,设过定点的直线
与椭圆
交于不同的两点
,且
为锐角(
为坐标原点),求直线
的斜率
的取值范围;
(3)过原点任意作两条互相垂直的直线与椭圆
:
相交于
四点,设原点
到四边形
的一边距离为
,试求
时
满足的条件.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知是椭圆
的右焦点,圆
与
轴交于
两点,
是椭圆
与圆
的一个交点,且
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)过点与圆
相切的直线
与
的另一交点为
,且
的面积为
,求椭圆
的方程
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的离心率为
,直线
与以原点为圆心、以椭圆
的短半轴长为半径的圆
相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左焦点为
,右焦点为
,直线
过点
,且垂直于椭圆的长轴,动直线
垂直于
,垂足为点
,线段
的垂直平分线交
于点
,求点
的轨迹
的方程;
(3)设与
轴交于点
,不同的两点
在
上(
与
也不重合),且满足
,求
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的离心率为
,且过点
.
(1)求椭圆的方程;
(2)若过点C(-1,0)且斜率为的直线
与椭圆相交于不同的两点
,试问在
轴上是否存在点
,使
是与
无关的常数?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知椭圆的中心在坐标原点,右准线为
,离心率为
.若直线
与椭圆
交于不同的两点
、
,以线段
为直径作圆
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若圆与
轴相切,求圆
被直线
截得的线段长.
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