Question

已知A、B、C三点在球心为O，半径为3的球面上，A、B两点间的球面距离为π，若三棱锥O-ABC为正三棱锥，则该正三棱锥的体积为（　　）

• A．36
• B．

  27 2

  4

• C．

  9 2

  4

• D．

  3 2

  4

Answer 1

分析：三棱锥O-ABC为正三棱锥，求出AB两点的球面距离均为π．推出∠AOC=∠AOB=∠BOC=60°，推出三棱锥为正四面体，然后求正四面体体积．

解答：解：由题意画出图形，AB两点的球面距离均为π．所以∠AOB=

π

3

=60°，
三棱锥O-ABC为正三棱锥，所以∠AOC=∠AOB=∠BOC=60°，
推出三棱锥为正四面体，三棱锥是正四面体，棱长为3，如图，
所以正四面体的体积：

1

3

×

3

4

×32×

32-( 3 )2

=

27 2

12

=

9 2

4

，
故选C．

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．