Question

以下给出的是用条件语句编写的程序，根据该程序回答
READ   x
IF     x＜a    THEN   y=-x²+ax+b
ELSEy=x²-ax+b
END   IF
PRINT   y
END
（Ⅰ） 求证：输入x的值互为相反数则输出的y值也互为相反数的充要条件是a²+b²=0；
（Ⅱ） 设常数b＜2

2

-3，若在[0，1]随机输入x，则输出的y值为负，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）充要条件的证明必须分清充分性与必要性．充分性是指若a²+b²=0时，判断f（x）是奇函数；必要性是由f（x）是奇函数，判断a²+b²=0；
（II）由于b＜2

2

-3＜0，故当x=0时，a取任意实数不等式恒成立，
当x∈(0，1]时，原不等式变为|x-a|＜-

b

x

，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

．所以只需对x∈（0，1]，a＞(x+

b

x

)max（1），a＜ (x-

b

x

)min（2）．下面只需要对（1）式，（2）式，分别研究即可得实数a的取值范围．

解答：解：（I）充分性：若a²+b²=0时，即a=b=0，所以f（x）=x|x|．∵f（-x）=-x|-x|=-x|x|=-f（x），对一切x∈R恒成立，∴f（x）是奇函数；
必要性：若f（x）是奇函数，则对一切x∈R，f（-x）=-f（x）恒成立，即-x|-x-a|+b=-x|x-a|-b．
令x=0，得b=-b，所以b=0．
再令x=a，得2a|a|=0，∴a=0，即a²+b²=0．
（II）∵b＜2

2

-3＜0，∴当x=0时，a取任意实数不等式恒成立，
故考虑x∈(0，1]时，原不等式变为|x-a|＜-

b

x

，即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

．∴只需对x∈(0，1]，满足

a＞(x+ b x )max，(1) a＜(x- b x )min．(2)

对（1）式，由b＜0时，在(0，1]上，f(x)=x+

b

x

为增函数，∴(x+

b

x

)max=f(1)=1+b．∴a＞1+b．（3）
对（2）式，当-1≤b＜0时，在(0，1]上，x-

b

x

=x+

-b

x

≥2

-b

．
当x=

-b

时，x-

b

x

=2

-b

，∴(x-

b

x

)min=2

6

．∴a＜2

-b

．（4）
由（3）、（4），要使a存在，必须有

1+b＜2 -b -1≤b＜0.

即-1≤b＜-3+2

2

．
∴当-1≤b＜-3+2

2

时，1+b＜a＜2

-b

．
当b＜-1时，在(0，1]上，f(x)=x-

b

x

为减函数，（证明略）

∴(x- b x )min=f(1)=1-b. ∴当b＜-1时，1+b＜a＜1-b.

综上所述，当-1≤b＜2

2

-3时，a的取值范围是(1+b，2

-b

)；
当b＜-1时，a的取值范围是（1+b，1-b）．

点评：本题的考点是必要条件、充分条件及充要条件的判断，主要考查充要性的证明，关键是读懂信息，搞清充分性与必要性，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度