Question

若函数f（x）定义域内有两个任意实数x₁，x₂，满足f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，则称函数f（x）为凸函数，下列函数中是凸函数的为

 

．
①f（x）=3x+1，②f(x)=

1

x

x∈（-∞，0），③f（x）=x²-3x-2，④f（x）=-|x+1|

Answer 1

分析：由题意，直接代入计算

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)的值，判断是否恒大于0即可．

解答：解：①

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

3x1+1+3x2+1

2

-3

x1+x2

2

+1=0，不是凸函数；
②

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

1 x1 + 1 x2

2

-

1

x1 +x2 2

=

2(x1-x2) 2

(x1 +x2) x1x2

符号不确定，故不为凸函数
③

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

x12-3x1-2+x22-3x2-2

2

-(

x1+x2

2

)2+3

x1+x2

2

+2
=(

x1-x2

2

)2＞0，故为凸函数．
④

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

-|x1+1|-|x2+1|

2

+|

x1 +x2

2

+1|，
取x₁=1，x₂=2则上式为0，故不是凸函数．
故答案为：③

点评：本题为新定义问题，考查函数的解析式、对新定义的理解和计算．