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【题目】某中学随机选取了名男生,将他们的身高作为样本进行统计,得到如图所示的频率分布直方图.观察图中数据,完成下列问题.

(Ⅰ)求的值及样本中男生身高在(单位: )的人数;

假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,通过样本估计该校全体男生的平均身高;

(Ⅲ)在样本中,从身高在(单位: )内的男生中任选两人,求这两人的身高都不低于的概率.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】试题分析:(1)根据频率直方图的总面积为1,可求得,n=N*高*组距。(2)平均数为,每个区间的中点值与频率乘积和。

(3)学生身高在内的人有个,记这四人为.所以,身高在内的男生共人。采用枚举可得总共15个基本事件,满足的有6个。

试题解析:(Ⅰ)根据题意, .

解得

所以样本中学生身高在内(单位: )的人数为

(Ⅱ)设样本中男生身高的平均值为,则

所以,该校男生的平均身高为

(Ⅲ)样本中男生身高在内的人有

(个),记这两人为

由(Ⅰ)可知,学生身高在内的人有个,记这四人为

所以,身高在内的男生共人.

从这人中任意选取人,有

种情况.

设所选两人的身高都不低于为事件,事件包括,共种情况.

所以,所选两人的身高都不低于的概率为

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分数大于等于120分

分数不足120分

合计

周做题时间不少于15小时

4

19

周做题时间不足15小时

合计

45

(1)请完成上面的列联表,并判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”;

(2)(ⅰ)按照分层抽样的方法,在上述样本中,从分数大于等于120分和分数不足120分两组学生中抽取9名学生,设抽到的不足120分且周做题时间不足15小时的人数是,求的分布列(概率用组合数算式表示);

(ⅱ)若将频率视为概率,从全校大于等于120分的学生中随机抽取20人,求这些人中周做题时间不少于15小时的人数的期望和方差.

附:

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(2)求证:BC1⊥B1E;
(3)若AB= ,求二面角E﹣AB1﹣B的正切值.

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