Question

已知椭圆＝1(a＞b＞0)，直线l与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点，连接OM并延长交椭圆于点C．直线AB与直线OM的斜率分别为k、m，且km＝－．

(1)求b的值；

(2)若直线AB经过椭圆的右焦点F，问：对于任意给定的不等于零的实数k，是否存在a∈[2，＋∞)，使得四边形OACB是平行四边形，请证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)解法一：设，，， 　　则，两式相减，得：， 　　又，，∴， 　　又∵，∴，∴ 　　解法二：设直线AB的方程为y＝kx＋n，代入椭圆方程得 　　，设，，， 　　则，∴，， 　　∴，又∴，∴ 　　(Ⅱ)设C(xC，yC)，直线AB的方程为y＝k(x－c)(k≠0)，代入椭圆方程， 　　得，若OACB是平行四边形，则， 　　∴，， 　　∵C在椭圆上∴∴， 　　∴，∴∴， 　　∵，a∈[2，＋∞]，∴，∴且， 　　∴当且时，存在a∈[2，＋∞]，使得四边形OACB是平行四边形； 　　当或时，不存在a∈[2，＋∞]，使得四边形OACB是平行四边形．