Question

6．设p、q∈R₊，x∈（0，$\frac{π}{2}$），求函数f（x）=$\frac{p}{\sqrt{sinx}}$+$\frac{q}{\sqrt{cosx}}$的最小值．

Answer 1

分析 令f=$\frac{p}{\sqrt{sinx}}$+$\frac{q}{\sqrt{cosx}}$，则1=$\frac{p}{f\sqrt{sinx}}+\frac{q}{f\sqrt{cosx}}$，结合sin²x+cos²x=1，构造数字式：5=1+4=4（$\frac{p}{f\sqrt{sinx}}+\frac{q}{f\sqrt{cosx}}$）+（sin²x+cos²x），进而利用n元均值不等式，可得函数的最小值．

解答 解：令f=$\frac{p}{\sqrt{sinx}}$+$\frac{q}{\sqrt{cosx}}$，则1=$\frac{p}{f\sqrt{sinx}}+\frac{q}{f\sqrt{cosx}}$，
又∵1=sin²x+cos²x，
构造数字式：
5=1+4
=4（$\frac{p}{f\sqrt{sinx}}+\frac{q}{f\sqrt{cosx}}$）+（sin²x+cos²x）
=（4$\frac{p}{f\sqrt{sinx}}$+sin²x）+（4$\frac{q}{f\sqrt{cosx}}$+cos²x）
≥5$\root{5}{（\frac{p}{f\sqrt{sinx}}）^{4}•{sin}^{2}x}$+5$\root{5}{{（\frac{q}{f\sqrt{cosx}}）}^{4}•{cos}^{2}x}$
=5•$\frac{\root{5}{{p}^{4}}+\root{5}{{q}^{4}}}{\root{5}{{f}^{4}}}$
∴$\root{5}{{f}^{4}}≥\root{5}{{p}^{4}}+\root{5}{{q}^{4}}$，
∴f≥$（\root{5}{{p}^{4}}+\root{5}{{q}^{4}}）^{\frac{5}{4}}$=${（{p}^{\frac{4}{5}}+{q}^{\frac{4}{5}}）}^{\frac{5}{4}}$，
当且仅当tanx=$（\frac{p}{q}）^{\frac{2}{5}}$时，取等号，
即函数f（x）=$\frac{p}{\sqrt{sinx}}$+$\frac{q}{\sqrt{cosx}}$的最小值为${（{p}^{\frac{4}{5}}+{q}^{\frac{4}{5}}）}^{\frac{5}{4}}$

点评 本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，本题运算量大，转化困难，属于难题．