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已知函数f(x)=2cos2(x+
π
12
)+2sinxcosx-3

(Ⅰ)化简函数f(x)的解析式,并求f(x)的最小正周期;
(Ⅱ)若方程f(x+
π
12
)+sinx-t=0
恒有实数解,求实数t的取值范围.
分析:(Ⅰ)利用二倍角公式和两角和公式对函数的解析式进行化简整理,利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期.
(Ⅱ)根据题意可把问题转化为求函数t=f(x+
π
12
)+sinx
的值域,进而根据二倍角公式对函数t的解析式整理后,利用二次函数的性质和sinx的范围确定函数t的值域,答案可得.
解答:解:(Ⅰ)∵f(x)=2cos2(x+
π
12
)+2sinxcosx-3

=cos(2x+
π
6
)+sin2x-2
=
3
2
cos2x+
1
2
sin2x-2

=sin(2x+
π
3
)-2

其最小正周期为T=
2


(Ⅱ)方程f(x+
π
12
)+sinx-t=0
恒有实数解,等价于求函数t=f(x+
π
12
)+sinx
的值域.
t=f(x+
π
12
)+sinx=sin[2(x+
π
12
)+
π
3
]+sinx-2

=cos2x+sinx-2=-2sin2x+sinx-1=-2(sinx-
1
4
)2-
7
8

∵-1≤sinx≤1,∴t∈[-4,-
7
8
]
点评:本题主要考查了二倍角公式的应用,两角和公式的化简求值以及三角函数的周期性等.考查了学生综合分析和解决问题的能力.
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3
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+
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3
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3
3
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2
3
2
3

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