Question

已知函数f(x)=2cos2(x+

π

12

)+2sinxcosx-3．
（Ⅰ）化简函数f（x）的解析式，并求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若方程f(x+

π

12

)+sinx-t=0恒有实数解，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数的解析式进行化简整理，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期．
（Ⅱ）根据题意可把问题转化为求函数t=f(x+

π

12

)+sinx的值域，进而根据二倍角公式对函数t的解析式整理后，利用二次函数的性质和sinx的范围确定函数t的值域，答案可得．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2cos2(x+

π

12

)+2sinxcosx-3
=cos(2x+

π

6

)+sin2x-2=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x-2
=sin(2x+

π

3

)-2．
其最小正周期为T=

2π

2

=π

（Ⅱ）方程f(x+

π

12

)+sinx-t=0恒有实数解，等价于求函数t=f(x+

π

12

)+sinx的值域．
∵t=f(x+

π

12

)+sinx=sin[2(x+

π

12

)+

π

3

]+sinx-2
=cos2x+sinx-2=-2sin²x+sinx-1=-2(sinx-

1

4

)2-

7

8

．
∵-1≤sinx≤1，∴t∈[-4，-

7

8

]．

点评：本题主要考查了二倍角公式的应用，两角和公式的化简求值以及三角函数的周期性等．考查了学生综合分析和解决问题的能力．