Question

（2013•广元一模）已知椭圆C过点A(1，

3

2

)，两个焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0）．
①求椭圆C的方程；
②过点A的直线l交椭圆C于另一点B，若点M的横坐标为-

1

2

_，且满足

OA

+

OB

=

2OM

，求直线l的方程．

Answer 1

分析：①设椭圆C的方程，利用椭圆C过点A(1，

3

2

)，两个焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），建立方程组，求出几何量，即可求得椭圆的方程；
②设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及点M的横坐标为-

1

2

，且满足

OA

+

OB

=

2OM

，求出直线的斜率，即可求直线l的方程．

解答：解：①设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵椭圆C过点A(1，

3

2

)，两个焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），
∴

a2-b2=1 1 a2 + 9 4b2 =1

∴a²=4，b²=3
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
②设直线l的斜率为k，则方程为y-

3

2

=k（x-1），即y=kx-k+

3

2

代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²+（12k-8k²）x+4k²-12k-3=0，
设B（x₁，y₁），则
∵A(1，

3

2

)，∴x1+1=-

12k-8k2

3+4k2

∵点M的横坐标为-

1

2

，且满足

OA

+

OB

=

2OM

，
∴x1+1=-

12k-8k2

3+4k2

=-1
∴k=

1

2

∴直线l的方程为x-2y+2=0．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．