Question

如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=CP=1，且AC⊥BC，PC⊥面ABC，过P作截面分别交AC，BC于E、F，且二面角P-EF-C为60°，则三棱锥P-EFC体积的最小值为

1

9

．

Answer 1

分析：先根据二面角求出在三角形PEF斜边EF边上的高，设CE=a，CF=b，则EF=

a2+b2

，然后等面积建立等式，再利用基本不等式求出ab的最值，利用体积公式表示出三棱锥P-EFC体积，从而求出体积的最小值．

解答：解：过P做PG⊥EF，垂足为G，连接CG则由三垂线定理可得EF⊥CG
∴∠PGC即为二面角角P-EF-C的平面角
∴∠PGC=60°，PC=1
∴在三角形PEF斜边EF边上的高为PG=

3

3

设CE=a，CF=b，则EF=

a2+b2

在三角形CEF中ab=

a2+b2

•

3

3

≥

2ab 3

∴ab≥

2

3

三棱锥P-EFC体积V=

1

3

×

1

2

ab•PC=

1

6

ab≥

1

9

故答案为：

1

9

点评：本题主要考查了二面角的应用，以及锥体的体积和基本不等式求最值，属于中档题．