Question

定义：若函数f（x）为定义域D上的单调函数，且存在区间（m，n）⊆D（m＜n），使得当x∈（m，n）时，f（x）的取值范围恰为（m，n），则称函数f（x）是D上的“正函数”． 已知函数f （x）=a^x（a＞1）为R上的“正函数”，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由题意，y=f（x）-x=a^x-x有两个零点，求导y′=lna•a^x-1；从而得

1

lna

-loga

1

lna

＜0；从而求解．

解答： 解：由题意，y=f（x）-x=a^x-x有两个零点，
y′=lna•a^x-1；
故y=a^x-x在定义域上先减后增，
且当x=0时，y＞0；
故当a^x=

1

lna

时，y＜0；
即

1

lna

-loga

1

lna

＜0；
故a∈（1，e 

1

e

）；
故答案为：（1，e 

1

e

）．

点评：本题考查了函数的性质与应用，属于基础题．