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已知抛物线x2=4y的焦点为F,过焦点F且不平行于x轴的动直线交抛物线于A、B两点,抛物线在A、B两点处的切线交于点M.

(1)求证:A、M、B三点的横坐标成等差数列;
(2)设直线MF交该抛物线于C、D两点,求四边形ACBD面积的最小值.
(1)见解析(2)32
(1)证明:由已知,得F(0,1),显然直线AB的斜率存在且不为0,
则可设直线AB的方程为y=kx+1(k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),
消去y,得x2-4kx-4=0,显然Δ=16k2+16>0.
所以x1+x2=4k,x1x2=-4,
由x2=4y,得y=x2,所以y′=x,所以,直线AM的斜率为kAMx1,
所以,直线AM的方程为y-y1x1(x-x1),又=4y1,
所以,直线AM的方程为x1x=2(y+y1)①,同理,直线BM的方程为x2x=2(y+y2)②,
②-①并据x1≠x2得点M的横坐标x=,即A、M、B三点的横坐标成等差数列.
(2)解:由①②易得y=-1,所以点M的坐标为(2k,-1)(k≠0).
所以kMF=-,则直线MF的方程为y=-x+1,
设C(x3,y3),D(x4,y4)由消去y,得x2x-4=0,显然Δ=+16>0,
所以x3+x4=-,x3x4=-4,又|AB|=
=4(k2+1),
|CD|=

因为kMF·kAB=-1,所以AB⊥CD,
所以SACBD|AB|·|CD|=8≥32,
当且仅当k=±1时,四边形ACBD面积取到最小值32.
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