Question

3．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径是1，且满足条件2（sin²A-sin²C）=（sinA-sinB）b，
求（1）角C的值
（2）△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理结合R=1，化简已知等式得到a²+b²-c²=ab，利用余弦定理算出cosC=$\frac{1}{2}$，从而可得C=60°．
（2）再利用基本不等式求出ab≤3，用正弦定理的面积公式即可算出△ABC的面积的最大值．

解答 解：（1）由正弦定理，可得b=2RsinB=2sinB，
代入已知等式得 2sin²A-2sin²C=2sinAsinB-2sin²B，
即sin²A+sin²B-sin²C=sinAsinB，
∴a²+b²-c²=ab，
由此可得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{2}$，
结合C∈（0°，180°），得C=60°．
（2）∵由（1）可得：ab=a²+b²-c²=a²+b²-（2RsinC）²=a²+b²-3≥2ab-3，
∴ab≤3 （当且仅当a=b时，取等号），
∵△ABC面积为S=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，
∴当且仅当a=b=$\sqrt{3}$时，△ABC的面积的最大值为$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题给出三角形的边角关系，求三角形面积的最大值，着重考查了正余弦定理、三角形的面积公式和基本不等式求最值等知识，属于中档题．