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【题目】已知函数

1)求函数的极值.

2,若不等式上恒成立,求的最大值.

3)是否存在实数,使得函数上的值域为?如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.

【答案】1)极大值没有极小值;(2)最大值为;(3)存在,见解析

【解析】

1)先求出,令,再列表讨论的单调区间,进而可求出函数的极值;(2)根据不等式构造函数,求导并判断单调性,进而可求出的最大值;

3)由(1)知,当时,,得,结合函数的单调性可猜想,存在实数符合题意,其中的图象与直线上的交点的横坐标,再证明上只有一个实数解即可.

1,其定义域为

求导得

,得

的关系列表如下:

1

+

0

极大值

因此,当时,取得极大值没有极小值.

2

因为上恒成立,

所以上恒成立,

则原问题转化为上恒成立.

,解得

的关系列表如下:

+

0

极大值

所以只需,故的最大值为

3)存在实数,满足题意.

证明如下:

由(1)知,当时,

所以,即,注意到上单调递减,

结合函数的单调性可猜想,存在实数符合题意,其中的图象与直线上的交点的横坐标.

故只需证明方程上只有一个实数解.

,则

,得,因为,所以只有成立.

的关系列表如下:

+

0

极大值

因为,所以当时,

所以存在,使得,满足

因为函数上单调递减,所以方程上只有一个实数解.

综上所述,存在实数,使得函数上的值域为

练习册系列答案
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