【题目】已知函数.
(1)求函数的极值.
(2),若不等式在上恒成立,求的最大值.
(3)是否存在实数,使得函数在上的值域为?如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)极大值没有极小值;(2)最大值为;(3)存在,见解析
【解析】
(1)先求出,令,再列表讨论的单调区间,进而可求出函数的极值;(2)根据不等式构造函数,求导并判断单调性,进而可求出的最大值;
(3)由(1)知,当时,,得,结合函数的单调性可猜想,存在实数符合题意,其中,为的图象与直线在上的交点的横坐标,再证明在上只有一个实数解即可.
(1),其定义域为,
求导得.
令,得.
的关系列表如下:
1 | |||
+ | 0 | ||
↗ | 极大值 | ↘ |
因此,当时,取得极大值没有极小值.
(2),
因为在上恒成立,
所以在上恒成立,
设,
则原问题转化为在上恒成立.
,
令,解得.
的关系列表如下:
+ | 0 | ||
↗ | 极大值 | ↘ |
所以只需,故的最大值为.
(3)存在实数,满足题意.
证明如下:
由(1)知,当时,,
所以,即,注意到在上单调递减,
结合函数的单调性可猜想,存在实数符合题意,其中,为的图象与直线在上的交点的横坐标.
故只需证明方程在上只有一个实数解.
令,则,
令,得,因为,所以只有成立.
的关系列表如下:
+ | 0 | ||
↗ | 极大值 | ↘ |
因为,所以当时,,
又,
所以存在,使得,满足,
因为函数在上单调递减,所以方程在上只有一个实数解.
综上所述,存在实数,使得函数在上的值域为.
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【题目】某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图(如图①)、90后从事互联网行业岗位分布条形图(如图②),则下列结论中不一定正确的是( )
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980~1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.
A.互联网行业从业人员中90后占一半以上
B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
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【题目】为了了解某高校全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数(的值精确到0.01);
(2)为查找影响学生阅读时间的因素,学校团委决定从每周阅读时间为,的学生中抽取9名参加座谈会.你认为9个名额应该怎么分配?并说明理由.
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(1)求f(x)的最小值;
(2)是否存在实数b,使得关于x的不等式ex<bx+f(x)在(0,+∞)上恒成立?若存在,求出b的取值范围;若不存在,说明理由.
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(II)求证:.
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