Question

为迎接2011“兔”年的到来，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序：如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止，一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．

Answer 1

分析：随机猜对问题A的概率P1=

1

4

，随机猜对问题B的概率P2=

1

5

．回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：先回答问题A，再回答问题B．先回答问题B，再回答问题A，做出两种情况下的获胜的期望，进行比较，分类讨论．

解答：解：随机猜对问题A的概率P1=

1

4

，随机猜对问题B的概率P2=

1

5

．
回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：
（1）先回答问题A，再回答问题B．
参与者获奖金额ξ可取0，m，m+n，则
P(ξ=0)=1-P1=

3

4

，P(ξ=m)=P1(1-P2)=

1

4

×

4

5

=

1

5

，
P(ξ=m+n)=P1P2=

1

4

×

1

5

=

1

20

．
Eξ=m×

1

5

+（m+n）×

1

20

=

m

4

+

n

20

（2）先回答问题B，再回答问题A，
参与者获奖金额η可取0，n，m+n，则
P(η=0)=1-P2=

4

5

，P(ξ=n)=P2(1-P1)=

1

5

×

3

4

=

3

20

，
P(η=m+n)=P2P1=

1

5

×

1

4

=

1

20

．
Eη=0×

4

5

+n×

3

20

+(m+n)×

1

20

=

m

20

+

n

5

．
Eξ-Eη=（

m

4

+

n

20

）-（

m

20

+

n

5

）=

4m-3n

20

于是，当

m

n

＞

3

4

时，Eξ＞Eη，先回答问题A，再回答问题B，获奖的期望值较大；
当

m

n

=

3

4

时，Eξ=Eη，两种顺序获奖的期望值相等；
当

m

n

＜

3

4

时，Eξ＜Eη，先回答问题B，再回答问题A，获奖的期望值较大．

点评：期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫．同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响．