Question

数列{a_n}中，a₁=1，a₅=45，且na_n+1=（n+1）a_n+t，则常数t=

10

．

Answer 1

分析：由na_n+1=（n+1）a_n+t，知

an+1

n+1

= 

an

n

+

t

n(n+1)

，所以

an

n

=a1+t[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]=a1+t(1-

1

n

)．将a₁=1，a₅=45，代入得

45

5

=1+t(1-

1

5

)，由此能求出t．

解答：解：∵na_n+1=（n+1）a_n+t，，
∴

an+1

n+1

= 

an

n

+

t

n(n+1)

，

an

n

=a1+t[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n-1)

]
=a1+t[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]
=a1+t(1-

1

n

)．
将a₁=1，a₅=45，代入得

45

5

=1+t(1-

1

5

)，
∴t=10．
故答案为：10．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列递推公式的灵活运用．