Question

已知函数f(x)=

2x

2x+ 2

．
（Ⅰ）计算f（0）+f（1）的值
（Ⅱ）试利用求等差数列前n项和的方法求f(-1)+f(-

1

2

)+f(0)+f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

) +f(2)的值；
（Ⅲ）设a∈R，解关于x的不等式：f(x2-(a+1)x+a+

1

2

)＜

1

2

．

Answer 1

分析：（I）代入化简即可得出；
（II）利用f（1-x）+f（x）=

21-x

21-x+ 2

+

2x

2x+ 2

=

2

2+ 2 •2x

+

2x

2x+ 2

=

2

2 +2x

+

2x

2x+ 2

=1，即可得出；
（Ⅲ）利用f(x)=

2x

2x+ 2

=1-

2

2x+ 2

，可得f（x）在实数集上是单调递增函数，即可分离出来，通过分类讨论即可得出．

解答：解：（Ⅰ）f（0）+f（1）=

1

1+ 2

+

2

2+ 2

=

1

1+ 2

+

2

2 +1

=1，
（Ⅱ）∵f（1-x）+f（x）=

21-x

21-x+ 2

+

2x

2x+ 2

=

2

2+ 2 •2x

+

2x

2x+ 2

=

2

2 +2x

+

2x

2x+ 2

=1，
∴f(-1)+f(-

1

2

)+f(0)+f(

1

2

)+f(1)+f(

3

2

) +f(2)=3.5．
（Ⅲ）f(x)=

2x

2x+ 2

=1-

2

2x+ 2

，
故f（x）在实数集上是单调递增函数，
由（Ⅰ），令x=0，得f(

1

2

)=

1

2

…，
原不等式即为f(x2-(a+1)x+a+

1

2

)＜f(

1

2

)，
∴x2-(a+1)x+a+

1

2

＜

1

2

，即（x-a）（x-1）＜0
故当a＜1时，不等式的解集为{x|a＜x＜1}；
当a=1时，不等式的解集为?；
当a＞1时，不等式的解集为{x|1＜x＜a}．

点评：熟练掌握函数的单调性、分类讨论的思想方法、指数函数的运算等是解题的关键．