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12.设各项均为正数的等差数列{an}的首项为1,其前n项和为Sn,且Sn=$\frac{({a}_{n}+1)^{2}}{4}$(n∈N*).
(1)求an
(2)设常数k满足k<$\frac{\sqrt{{S}_{m}}+2\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{m+n}}}$对一切的m,n∈N*,m<n恒成立,求证:k的最大值等于$\frac{3}{2}$.

分析 (1)设等差数列{an}的公差为d>0,由Sn=$\frac{({a}_{n}+1)^{2}}{4}$(n∈N*).取n=2时,2+d=$\frac{(1+d+1)^{2}}{4}$,解得d,利用等差数列的通项公式可得an
(2)由(1)可得:Sn=n2.$\frac{\sqrt{{S}_{m}}+2\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{m+n}}}$=$\frac{m+2n}{m+n}$,k<$\frac{m+2n}{m+n}$=1+$\frac{n}{m+n}$=1+$\frac{1}{\frac{m}{n}+1}$,即可得出.

解答 (1)解:设等差数列{an}的公差为d>0,∵Sn=$\frac{({a}_{n}+1)^{2}}{4}$(n∈N*).
∴n=2时,2+d=$\frac{(1+d+1)^{2}}{4}$,解得d=2.
∴an=1+2(n-1)=2n-1.
(2)证明:Sn=n2
$\frac{\sqrt{{S}_{m}}+2\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{m+n}}}$=$\frac{m+2n}{m+n}$,
∵k<$\frac{\sqrt{{S}_{m}}+2\sqrt{{S}_{n}}}{\sqrt{{S}_{m+n}}}$对一切的m,n∈N*,m<n恒成立,
∴k<$\frac{m+2n}{m+n}$=1+$\frac{n}{m+n}$=1+$\frac{1}{\frac{m}{n}+1}$,
∵1+$\frac{1}{\frac{m}{n}+1}$>$\frac{3}{2}$,
∴$k≤\frac{3}{2}$.
∴k的最大值等于$\frac{3}{2}$.

点评 本题考查了等差数列的通项公式与前n项和公式、数列的单调性、递推关系的应用、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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