Question

从5名男生、3名女生中选5人担任5门不同学科的课代表，分别求符合下列条件的方法数；
（1）女生甲担任语文课代表；
（2）男生乙必须是课代表，但不担任英语课代表；
（3）3名男课代表，2名女课代表，男生乙不任英语课代表．

Answer 1

解：（1）∵女生甲担任语文课代表，
再选四人分别担任其他四门学科课代表，
∴方法数有C₇⁴A₄⁴=840种．
（2）先选出4人，有C₇⁴种方法，连同乙在内，
5人担任5门不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，
有A₄¹•A₄⁴种方法，
∴方法数为C₇⁴•A₄¹•A₄⁴=3360种．
（3）分两类，乙担任课代表，乙不担代课任表．
第一类：乙担任课代表，先选出2名男生2名女生，有C₄²C₃²种方法，
连同乙在内，5人担任5门不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，
有A₄¹A₄⁴种方法，方法数为C₄²C₃²•A₄¹A₄⁴种；
第二类：乙不担任课代表，有C₄³C₃²A₅⁵种方法．
根据分类计数原理，共有C₄²C₃²A₄¹A₄⁴+C₄³C₃²A₅⁵=3168种不同方法．
分析：（1）本题是先组合后排列问题，特殊情况可优先考虑，女生甲担任语文课代表，再选四人分别担任其他四门学科课代表，
（2）先选出4人，有C₇⁴种方法，连同乙在内，5人担任5门不同学科的课代表，乙不担任英语课代表，写出算式．
（3）分两类，乙担任课代表，乙不担代课任表．第一类：乙担任课代表，先选出2名男生2名女生，有C₄²C₃²种方法，第二类：乙不担任课代表，有C₄³C₃²A₅⁵种方法．根据分类计数原理得到结果．
点评：排列组合问题在实际问题中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，先排约束条件多的元素，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．