Question

（2012•德阳二模）已知f（x）=a^x，g（x）=

a2x

a+a2x

，（a＞0，a≠1）
（1）求g（x）+g（1-x）的值；
（2）记an=g(

1

n+1

)+g(

2

n+1

)+…+g(

n

n+1

)（n∈N^*），求a_n；
（3）设bn=

an

3n

，数列{b_n}的前n项和为S_n，对任意的n∈N^*，3f^-1（x）＞8S_n恒成立，求X的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由g（x）=

a2x

a+a2x

，（a＞0，a≠1），知g（x）+g（1-x）=

a2x

a+a2x

+

a2(1-x)

a+a2(1-x)

，由此能求出其结果．
（2）由an=g(

1

n+1

)+g(

2

n+1

)+…+g(

n

n+1

)（n∈N^*），利用倒序相加法能够求出a_n．
（3）由bn=

an

3

，知bn=

1

2

n•(

1

3

)n，故S_n=

1

2

[1×

1

3

+2×

1

32

+3×

1

33

+…+n×

1

3n

]，利用错位相减法能够求出x的范围．

解答：解：（1）g（x）+g（1-x）=

a2x

a+a2x

+

a2(1-x)

a+a2(1-x)

=

a2x

a+a2x

+

a2

a1+2x+a2

=

a2x

a+a2x

+

a

a2x+a

=1．
（2）∵an=g(

1

n+1

)+g(

2

n+1

)+…+g(

n

n+1

)（n∈N^*），
∴an=g(

n

n+1

)+g(

n-1

n+1

)+…+g(

1

n+1

)，
两式相加，得：2an=[g(

1

n+1

)+g(

n

n+1

)]+[g(

2

n+1

)+g(

n-1

n+1

)]+…++[g(

n

n+1

)+g(

1

n+1

)]=n，
∴an=

1

2

n．
（3）∵bn=

an

3

，
∴bn=

1

2

n•(

1

3

)n，
∴S_n=

1

2

[1×

1

3

+2×

1

32

+3×

1

33

+…+n×

1

3n

]，
设A=1×

1

3

+2×

1

32

+3×

1

3 3

+…+n×

1

3n

，
则

1

3

A=1×

1

32

+2×

1

33

+…+(n-1)×

1

3n

+n×

1

3n+1

，
相减，得：

2

3

A=

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

-n•

1

3n+1

，
∴A=

3

4

-

1

2

(n+

3

2

)•

1

3n

，
∴Sn=

3

8

-

1

4

(n+

3

2

)•

1

3n

，
∵f^-1（x）=log_ax（x＞0），
∴3f^-1（x）＞8S_n，
∴3logax＞3-(2n+3)•

1

3 n

，
∵3-(2n+3)•

1

3n

＜3且当n无限增大时，3-（2n+3）•

1

3n

无限接近3，
3f^-1（x）＞8S_n对n∈N^*恒成立，
∴log_ax≥1，
∴当a＞1时，x的范围：[a，+∞），
当0＜a＜1时，x的范围是（0，a]．

点评：本题考查数列知识的综合运用，难度大，综合性强，是高考的重点．解题时要认真审题，注意倒序相加法和错位相减法的合理运用．