【题目】如图,边长为4的正方形与矩形
所在平面互相垂直,
分别为
的中点,
.
(1)求证:平面
;
(2)求证:平面
;
(3)在线段上是否存在一点
,使得
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
【答案】(I)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)存在,
【解析】
试题分析:(I)由面面垂直的性质定理可直接证得。(Ⅱ)将转化为
的中点,利用中位线证
∥
,再根据线面平行的判定定理即可证MN∥平面CDFE。(Ⅲ)假设存在点P使AP⊥MN,由(I)易得
所以
。(Ⅲ)由逆向思维可知只需证得
,因为
,即可证得AP⊥MN。由相似三角形的相似比即可求得FP。
试题解析:(I)因为为正方形,所以
。
因为平面,
,
,所以
.
(Ⅱ)连结
因为是
的中点,且
为矩形,所以
也是
的中点。因为
是
的中点,所以
∥
,因为
,所以MN∥平面CDFE。
(Ⅲ)过点作
交线段
于点
,则点
即为所求。因为ABCD为正方形,所以
∥
。因为
,所以
,因为
,所以
。因为
,且
,所以
,因为
,所以
。因为
与
相似,所以
,因为
,所以
。
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】一只口袋有形状大小质地都相同的只小球,这
只小球上分别标记着数字
.
甲乙丙三名学生约定:
()每个不放回地随机摸取一个球;
()按照甲乙丙的次序一次摸取;
()谁摸取的球的数字对打,谁就获胜.
用有序数组表示这个试验的基本事件,例如:
表示在一次试验中,甲摸取的是数字
,乙摸取的是数字
,丙摸取的是数字
;
表示在一次实验中,甲摸取的是数
,乙摸取的是数字
,丙摸取的是数字
.
(Ⅰ)列出基本事件,并指出基本事件的总数;
(Ⅱ)求甲获胜的概率;
(Ⅲ)写出乙获胜的概率,并指出甲乙丙三名同学获胜的概率与其摸取的次序是否有关?
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【题目】已知圆M:(x+cos)2+(y-sin)2=1,直线l:y=kx,下面四个命题:
(A)对任意实数k与,直线l和圆M相切;
(B)对任意实数k与,直线l和圆M有公共点;
(C)对任意实数,必存在实数k,使得直线l与和圆M相切;
(D)对任意实数k,必存在实数,使得直线l与和圆M相切.
其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号).
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【题目】中国共产党第十九次全国代表大会于2017年10月18日至10月24日在北京召开,会议提出“决胜全面建成小康社会”.某市积极响应开展“脱贫攻坚”,为2020年“全面建成小康社会”贡献力量.为了解该市农村“脱贫攻坚”情况,从某县调查得到农村居民2011年至2017年家庭人均纯收入(单位:百元)的数据如下表:
注:小康的标准是农村居民家庭年人均纯收入达到8000元.
年 份 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年人均纯收入y百元 | 41 | 45 | 48 | 56 | 60 | 64 | 71 |
(Ⅰ)求关于
的线性回归方程;
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,预测2020年该县农村居民家庭年人均纯收入指标能否达到“全面建成小康社会”的标准?
附:回归直线斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
,其中
.
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【题目】设a,b∈R,ab≠0,给出下面四个命题:①a2+b2≥﹣2ab;② ≥2;③若a<b,则ac2<bc2;④若
.则a>b;其中真命题有( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
∥
,
,平面
⊥底面
,
为
的中点,
,
,
.
(Ⅰ)求证:平面⊥平面
;
(Ⅱ)在棱上是否存在点
使得二面角
大小为
?若存在,求出
的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】【2018河北保定市上学期期末调研】已知点到点
的距离比到
轴的距离大1.
(I)求点的轨迹
的方程;
(II)设直线:
,交轨迹
于
、
两点,
为坐标原点,试在轨迹
的
部分上求一点
,使得
的面积最大,并求其最大值.
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【题目】把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位:米)进行整理,分成以下6个小组:[5.25,6.15),[6.15,7.05),[7.05,7.95),[7.95,8.85),[8.85,9.75),[9.75,10.65],并绘制出频率分布直方图,如图所示是这个频率分布直方图的一部分.已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30,第6小组的频数是7.规定:投掷成绩不小于7.95米的为合格.
(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数;
(2)你认为这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组?请说明理由;
(3)若参加这次铅球投掷的学生中,有5人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会,已知a、b 两位同学的成绩均为优秀,求a、b 两位同学中至少有1人被选到的概率.
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