【题目】如图,在几何体ABCDEF中,四边形ABCD是菱形,BE⊥平面ABCD,DF∥BE,且DF=2BE=2,EF=3.
(1)证明:平面ACF⊥平面BEFD
(2)若二面角A﹣EF﹣C是二面角,求直线AE与平面ABCD所成角的正切值.
【答案】
(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∵BE⊥平面ABCD,∴BE⊥AC,
∴AC⊥平面BEFD,
∵AC平面ACF,∴平面ACF⊥平面BEFD
(2)解:设AC与BD的交点为O,由(1)得AC⊥BD,
分别以OA,OB为x轴,y轴,建立空间直角坐标系,
∵BE⊥平面ABCD,∴BE⊥BD,
∵DF∥BE,∴DF⊥BD,
∴BD2=EF2﹣(DF﹣BE)2=8,∴BD=2 .
设OA=a,(a>0),
由题设得A(a,0,0),C(﹣a,0,0),E(0, ),F(0,﹣ ,2),
设m=(x,y,z)是平面AEF的法向量,
则 ,取z=2 ,得 =( ),
设 是平面CEF的一个法向量,
则 ,取 ,得 =(﹣ ,1,2 ),
∵二面角A﹣EF﹣C是直二面角,
∴ =﹣ +9=0,解得a= ,
∵BE⊥平面ABCD,
∴∠BAE是直线AE与平面ABCD所成的角,
∴AB= =2,∴tan .
∴直线AE与平面ABCD所成角的正切值为 .
【解析】(1)推导出AC⊥BD,BE⊥AC,从而AC⊥平面BEFD,由此能证明平面ACF⊥平面BEFD.(2)设AC与BD的交点为O,分别以OA,OB为x轴,y轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AE与平面ABCD所成角的正切值.
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识,掌握一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.
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【题目】在直角坐标系xOy,直线l的参数方程是 (t为参数).在以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系中,曲线C:ρ=4sinθ.
(1)当m=﹣1,α=30°时,判断直线l与曲线C的位置关系;
(2)当m=1时,若直线与曲l线C相交于A,B两点,设P(1,0),且||PA|﹣|PB||=1,求直线l的倾斜角.
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【题目】已知函数f(x)=ex+be﹣x﹣2asinx(a,b∈R).
(1)当a=0时,讨论函数f(x)的单调区间;
(2)当b=﹣1时,若f(x)>0对任意x∈(0,π)恒成立,求a的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=2lnx+ax﹣ (a∈R)在x=2处的切线经过点(﹣4,2ln2)
(1)讨论函数f(x)的单调性
(2)若不等式 恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点,点P沿着边BC,CD与DA运动,记BOP=x,将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则图像大致为()
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图O是等腰三角形ABC内一点,圆O与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与AB,AC分别相切于E,F两点.
(1)(I)证明EF//BC
(2)(II)若AG等于圆O半径,且AE=MN=2,求四边形EBCF的面积
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【题目】某公司为了解用户对其产品的满意度,从A,B两地区分别随机调查了20个用户,得到用户对产品的满意度平分如下:
A地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
(1)(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可)
(2)(II)根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级:
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记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”,假设两地区用户的评价结果相互独立。根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求C的概率。
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【题目】(2015·四川)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)
(2)证明:直线MN∥平面BDH。
(3)求二面角A-EG-M的余弦值.
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