Question

现有一批货物用轮船从上海洋山深水港运往青岛，已知该船航行的最大速度为35海里/小时，上海至青岛的航行距离约为500海里，每小时运输成本由燃料费用和其余费用组成、轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用每小时960元，
（1）把全程运输费用y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；
（2）为了使全程运输成本最低，轮船应以多大速度行驶？

Answer 1

分析：（1）全程运输费用y（元）包括燃料费用和其余费用，每小时燃料费用 m=0.6x²（0＜x≤35）、其余费用每小时960元，两项相加即 为每小时的费用，全程的时间与每小时费用的乘积即全程费用．
（2）全程运输费用y（元）关于速度x（海里/小时）的函数是y=300(x+

1600

x

)，x∈（0，35]，求函数的最小值时因为基本不等式等号成立的条件不足备，所以用单调性来最小值，用导数判断函数的单调性比较快捷．

解答：解：（1）设每小时燃料费用为m元，则m=0.6x²（0＜x≤35）、由题意，全程所用的时间为

500

x

小时，所以y=0.6x2•

500

x

+960•

500

x

=300(x+

1600

x

)，x?（0，35]，
故所求的函数为y=300(x+

1600

x

)，x∈（0，35]，
（2）以下讨论函数y=300(x+

1600

x

)，x∈（0，35]的单调性：y/=300(1-

1600

x2

)，x∈（0，35]时，y^/＜0，
∴函数y=300(x+

1600

x

)，x∈（0，35]是减函数，
故当轮船速度为35海里/小时，所需成本最低．

点评：本题考查应用题的转化能力及考查基本不等式求最值的条件，以及用导数法判断函数在某个区间上的单调性．用单调性求最值．