Question

设函数f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1和4，若f（x）在 （-∞，+∞）内无极值点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1和4，得到

b= 1 2 (9-5a) c=4a

，又由函数f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d（a＞0）在R上无极值，则其导数值非正或非负，
由于其导数为开口向上的二次函数，只须导函数相应二次方程的判别式非正即可即可得到函数在R上无极值的条件，将b，c代入后，求解不等式，即可得到实数a的取值范围．

解答：解：∵f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d（a＞0）
∴f′（x）=ax²+2bx+c，
∵方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1和4，
∴ax²+（2b-9）x+c=0的两个根分别为1和4，
即

a+2b+c-9=0 16a+8b+c-36=0

∴

b= 1 2 (9-5a) c=4a

又∵函数f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d（a＞0）在R上无极值
∴f′（x）=ax²+2bx+c≥0恒成立
∴4b²-4ac≤0，即b²-ac≤0
∴[

1

2

(9-5a)]2-4a2≤0，整理得a²-10a+9≤0
解得：1≤a≤9，
则实数a的取值范围1≤a≤9．
故答案为：1≤a≤9．

点评：本题的考点是函数在某点取得极值的条件，考查函数没有极值时导数的值域的数字特征，并将这一关系转化为相应的不等式．本题在求解时用到了等价转化的思想．转化是数学中解决问题的常用技巧，做完此题后要好好体会其方式．