Question

20．若直线y=-x+k与曲线x=-$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一个公共点，则k的取值范围k=-$\sqrt{2}$或k∈（-1，1]．

Answer 1

分析 把直线和曲线的图象画出来，如图所示，得到曲线为一个半个单位圆，根据直线y=-x+k与曲线x=-$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一个公共点由图象即可求出k的取值范围．

解答 解：根据图象可知：半圆的圆心坐标为（0，0），半径r=1，
当直线y=-x+k与y轴的交点的纵坐标在（-1，1]时，直线y=-x+k与曲线x=-$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一个公共点，即k∈（-1，1]；
当直线y=-x+k与半圆在第三象限相切时，直线y=-x+k与曲线x=-$\sqrt{1-{y}^{2}}$恰有一个公共点，
所以圆心到直线的距离d=1，解得k=$\sqrt{2}$（舍去）或k=-$\sqrt{2}$，
综上，k的取值范围是：k=-$\sqrt{2}$或k∈（-1，1]．
故答案为：k=-$\sqrt{2}$或k∈（-1，1]．

点评 此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的关系，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，考查了数形结合的数学思想，是一道中档题．根据题意画出函数图象是解本题的关键．