Question

11．曲线$y=\frac{1}{x}$与y=kx相交于P、Q两点，当|PQ|最小时，则k=1．

Answer 1

分析 设出P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），得到∴|PQ|=$\sqrt{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}}$=$\sqrt{4k+\frac{4}{k}}$，利用基本不等式的性质求出k的值即可．

解答 解：由题意得：k＞0，
不妨设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{x}}\\{y=kx}\end{array}\right.$得：kx²-1=0，
故x₁+x₂=0，x₁•x₂=-$\frac{1}{k}$，
y₁+y₂=0，y₁•y₂=-k，
∴|PQ|=$\sqrt{{{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{-y}_{2}）}^{2}}$=$\sqrt{4k+\frac{4}{k}}$≥2$\sqrt{2}$，
当且仅当k=$\frac{1}{k}$即k=1时“=”成立，
故答案为：1．

点评 本题考察了基本不等式的性质，考察韦达定理，是一道基础题．