Question

设数列{x_n}各项为正，且满足x₁²+x₂²+…x_n²=2n²+2n．
（1）求x_n；
（2）已知

1

x1+x 2

+

1

x2+x3

+…+

1

xn+xn+1

=3，求n；
（3）证明：x₁x₂+x₂x₃+…x_nx_n+1＜2[（n+1）²-1]．

Answer 1

分析：（1）x₁²+x₂²+…x_n²可看成数列{x_n²}的前n项和，利用n≥2时，x_n²=2n²+2n-[2（n-1）²+2（n-1）]，就可求出x_n²，进而求出x_n．
（2）根据（1）中所求x_n的通项，求出数列{

1

xn+xn+1

}的通项公式，再求和，让和等于3，就可求出n值．
（3）利用放缩法证明即可．

解答：解：（1）∵数列{x_n}各项为正，且满足x₁²+x₂²+…x_n²=2n²+2n．
∴x₁=2
当n，x_n²=2n²+2n-[2（n-1）²+2（n-1）]=4n，∴x_n=2

n

∵x₁=2也满足上式，∴x_n=2

n

（2 ）∵

1

xn+xn+1

=

1

2 ( n + n+1 )

=

1

2

(

n+1

-

n

)
∴

1

x1+x 2

+

1

x2+x3

+…+

1

xn+xn+1

=

1

2

(

n+1

-

1

)=3
∴n=48
（3）x_nx_n+1=2

n

2

n+1

=4

n

n+1

＜4

n+(n+1)

2

=4n+2
∴x₁x₂+x₂x₃+…x_nx_n+1＜（4×1+2）+（4×2+2）+…（4n+2）=

6+(4n+2)

2

n=2[（n+1）²-1]．

点评：本题考查了数列中的前n项和与通项公式之间的关系，以及放缩法证明不等式．