Question

（2012•咸阳三模）如图直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CC₁=2，AB=BC，D是BA₁上一点，且AD⊥平面A₁BC．
（1）求证：BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

分析：（I）由直三棱柱的性质，可得AA₁⊥BC，由AD⊥平面A₁BC，得AD⊥BC，结合线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面ABB₁A₁．
（II）由（I）得BC⊥AB，结合已知条件得△ABC是斜边AC=2的等腰直角三角形，然后在Rt△AA₁B中，算出斜边上的高AD的长，根据射影定理算出BD的长，从而得到三角形BCD的面积，最后用锥体体积公式，可以算出三棱锥A-BCD的体积，即得三棱锥A-BCD的体积．

解答：证明：（Ⅰ）∵AD⊥平面A₁BC，BC⊆平面A₁BC，∴AD⊥BC．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，可得AA₁⊥BC．…（3分）
∵AD∩AA₁=A，AD、AA₁⊆平面ABB₁A₁，
∴BC⊥平面ABB₁A₁．…（6分）
（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB₁A₁，∴BC⊥AB．
∵AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，且斜边AC=2，AB=BC=

2

，
∴直角三角形AA₁B斜边上的高AD=

AA1•AB

A1B

=

2• 2

6

=

2 3

3

，
根据射影定理，得BD=

AB2

A1B

=

2

6

=

6

3

∴三棱锥A-BCD的体积V_A-BCD=V_B-ACD=

1

3

S_△ACD×BD=

1

3

×

1

2

•AD•DC•BD=

2

9

…（12分）

点评：本题给出特殊的三棱柱，求证线面垂直并且求三棱锥的体积，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．