Question

已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列
（1）若sinC=2sinA，求cosB的值；
（2）求角B的最大值．并判断此时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，得到c=2a，再有a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用余弦定理表示出cosB，将得出的关系式代入计算即可求出值；
（2）由表示出的cosB，将b²=ac代入利用基本不等式变形求出cosB的最小值，由余弦函数在[0，π]上为减函数，确定出B的最大值，由此时a=c及b²=ac，得出三角形ABC为等边三角形．

解答：解：（1）sinC=2sinA利用正弦定理化简得：c=2a，
∵a，b，c成等比数列，∴b²=ac=2a²，即b=

2

a，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+4a2-2a2

4a2

=

3

4

；
（2）∵b²=ac，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，
∵函数y=cosx在区间[0，π]上为减函数，
∴B∈（0，

π

3

]，即角B的最大值为

π

3

，
此时有a=c，且b²=ac，可得a=b=c，
则△ABC为等边三角形．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形形状的判断，等比数列的性质，以及余弦函数的单调性，熟练掌握定理是解本题的关键．