Question

2．已知函数f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ） 设1-x²=t，把f（x）表示为关于t的函数g（t）并求其值域．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的定义域，再根据奇偶性的定义判断并证明函数的奇偶性；
（2）先化简函数式，判断函数的单调性，并运用单调性确定函数的值域．

解答 解：（1）根据题意，由$\left\{\begin{array}{l}1-x＞0\\ 1+x＞0\end{array}\right.$，解得，-1＜x＜1，
所以，函数f（x）的定义域为（-1，1）．
由f（-x）=lg（1+x）+lg（1-x）+（-x）⁴-2（-x）²
=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²=f（x），
所以，函数f（x）是偶函数．
（2）f（x）=lg（1-x）+lg（1+x）+x⁴-2x²=lg（1-x²）+x⁴-2x²，
设t=1-x²，由x∈（-1，1），得t∈（0，1]．
则g（t）=lgt+（t²-1），其中t∈（0，1]，
∵y=lgt与 y=t²-1在t∈（0，1]均是增函数，
∴函数g（t）=lgt+（t²-1）在t∈（0，1]上为增函数，
所以，函数f（x）的值域为（-∞，0]．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的判断和证明，对数函数的图象与性质，以及运用函数的单调性求函数的值域，属于中档题．