【题目】有下列四个说法:
①若函数f(x)=asinx+cosx(x∈R)的图象关于直线x= 对称,则a= ;
②已知向量 =(1,2), =(﹣2,m),若 与 的夹角为钝角,则m<1;
③当 <α< 时,函数f(x)=sinx﹣logax有三个零点;
④函数f(x)=xsinx在[﹣ ,0]上单调递减,在[0, ]上单调递增.
其中正确的是(填上所有正确说法的序号)
【答案】①④
【解析】解:①函数f(x)=asinx+cosx= sin(x+θ),其中tanθ= ,∵其图象关于直线x= 对称,∴θ+ =kπ+ ,k∈Z,∴θ=kπ+ ,k∈Z,∴tanθ=tan(kπ+ )=tan = = ,∴a= ,正确;
②已知向量 =(1,2), =(﹣2,m), 与 的夹角为钝角,则 ,∴m<1且m≠﹣4,不正确;
③当 <α< 时,a可以是负数,故函数f(x)=sinx﹣logax有三个零点不正确;
④f′(x)=sinx+cosxx,f′(0)=0,当x∈[0, ]时,f′(x)≥0,f(x)单调递增;当x∈[﹣ ,0]时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,故正确.
所以答案是:①④.
【考点精析】关于本题考查的命题的真假判断与应用,需要了解两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系才能得出正确答案.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 asinA=( b﹣c)sinB+( c﹣b)sinC.
(1)求角A的大小;
(2)若a= ,cosB= ,D为AC的中点,求BD的长.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】天然气是较为安全的燃气之一,它不含一氧化碳,也比空气轻,一旦泄露,立即会向上扩散,不易积累形成爆炸性气体,安全性较高,其优点有:①绿色环保;②经济实惠;③安全可靠;④改善生活. 某市政府为了节约居民天然气,计划在本市试行居民天然气定额管理,即确定一个居民年用气量的标准,为了确定一个较为合理的标准,必须先了解全市居民日常用气量的分布情况,现采用抽样调查的方式,获得了位居民某年的用气量(单位:立方米),样本统计结果如下图表.
(1)分布求出的值;
(2)若从样本中年均用气量在(单位:立方米)的5位居民中任选2人作进一步的调查研究,求年均用气量最多的居民被选中的概率(5位居民的年均用气量均不相等).
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【题目】已知sinα+cosα= ,α∈(0, ),sin(β﹣ )= ,β∈( , ).
(1)求sin2α和tan2α的值;
(2)求cos(α+2β)的值.
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【题目】在数列{an}中,a1=1,an+1=2an+2n .
(1)设bn= .证明:数列{bn}是等差数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn .
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【题目】如图所示,某村积极开展“美丽乡村生态家园”建设,现拟在边长为1千米的正方形地块ABCD上划出一片三角形地块CMN建设美丽乡村生态公园,给村民休闲健身提供去处.点M,N分别在边AB,AD上. (Ⅰ)当点M,N分别是边AB,AD的中点时,求∠MCN的余弦值;
(Ⅱ)由于村建规划及保护生态环境的需要,要求△AMN的周长为2千米,请探究∠MCN是否为定值,若是,求出此定值,若不是,请说明理由.
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【题目】若 {an}是等比数列,a4a7=﹣512,a3+a8=124,且公比q为整数,则a10=( )
A.256
B.﹣256
C.512
D.﹣512
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