Question

已知{a_n}是公差为d的等差数列，{b_n}是公比为q的等比数列
（1）若a_n=3n+1，是否存在m，n∈N^*，有a_m+a_m+1=a_k？请说明理由；
（2）若b_n=aqⁿ（a、q为常数，且aq≠0）对任意m存在k，有b_m•b_m+1=b_k，试求a、q满足的充要条件；
（3）若a_n=2n+1，b_n=3ⁿ试确定所有的p，使数列{b_n}中存在某个连续p项的和式数列中{a_n}的一项，请证明．

Answer 1

分析：（1）把a_n的通项公式代入a_m+a_m+1=a_k，整理可得k和m的关系式，结果为分数，根据m、k∈N，可知k-2m也应该为整数，进而可判定不存在n、k∈N^*，使等式成立．
（2）利用特殊值法，令m=1，则可知b₁•b₂=b_k，把等比数列的通项公式代入整理可得a=q^c，其中c是大于等于-2的整数；反之a=q^c时，其中c是大于等于-2的整数，则b_n=q^n+c，代入b_m•b_m+1中整理得b_m•b_m+1=b_k，进而可判断a、q满足的充要条件是a=q^c，其中c是大于等于-2的整数
（3）设b_m+1+b_m+2+…+b_m+p=a_k，先看当p为偶数时等式左边为偶数，右边为奇数，等式不可能成立；再看当p=1时，等式成立，当p≥3且为奇数时，根据b_m+1+b_m+2+…+b_m+p=a_k，整理可得3^m+1（3^p-1）=4k+2，进而可知3^m+1[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]=2k+1，此时，一定有m和k使上式一定成立．综合可知当p为奇数时，命题都成立．

解答：解：（1）由a_m+a_m+1=a_k，得6m+6+3k+1，
整理后，可得k-2m=

4

3

，∵m、k∈N，
∴k-2m为整数∴不存在n、k∈N^*，使等式成立．
（2）当m=1时，则b₁•b₂=b_k，
∴a²•q³=aq^k∴a=q^k-3，即a=q^c，其中c是大于等于-2的整数
反之当a=q^c时，其中c是大于等于-2的整数，则b_n=q^n+c，
显然b_m•b_m+1=q^m+c•q^m+1+c=q^2m+1+2c=b_k，其中k=2m+1+c
∴a、q满足的充要条件是a=q^c，其中c是大于等于-2的整数
（3）设b_m+1+b_m+2+…+b_m+p=a_k
当p为偶数时，（*）式左边为偶数，右边为奇数，
当p为偶数时，（*）式不成立．
由（*）式得

3m+1(1-3p)

1-3

=2k+1，
整理得3^m+1（3^p-1）=4k+2
当p=1时，符合题意．
当p≥3，p为奇数时，3^p-1=（1+2）^p-1
=C_p⁰+C_p¹•2¹+C_p²•2²++C_p^p•2^p-1
=C_p¹•2¹+C_p²•2²++C_p^p•2^p
=2（C_p¹+C_p²•2++C_p^p•2^p-1）
=2[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]
∴由3^m+1（3^p-1）=4k+2，得3^m+1[2（C_p²+C_p²•2²++C_p^p•2^p-2）+p]=2k+1
∴当p为奇数时，此时，一定有m和k使上式一定成立．
∴当p为奇数时，命题都成立．

点评：本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．