Question

设数列{a_n}的首项a₁=a（a∈R），且an+1=

an-3 -an+4

an＞3时 an≤3时

n=1，2，3，…．
（I）若0＜a＜1，求a₂，a₃，a₄，a₅；
（II）若0＜a_n＜4，证明：0＜a_n+1＜4；
（III）若0＜a≤2，求所有的正整数k，使得对于任意n∈N^*，均有a_n+k=a_n成立．

Answer 1

分析：（I）由a₁=a且0＜a＜1代入得到a₂；a₂∈（3，4），代入（2）得到a₃；a₃∈（0，1），代入（1）得a₄；a₄∈（3，4），代入（2）得到a₄；a₅∈（0，1），代入（1）所以求得a₅；
（II）分两种情况①当0＜a_n≤3时和②当3＜a_n＜4得到0＜a_n+1＜4得证；
（III）分三种情况若0＜a＜1；1≤a＜2；若a=2，由特殊值得到k的特值，写出k的一般的取值即可．

解答：解：（Ⅰ）因为a₁=a∈（0，1）得a₂∈（3，4），所以a₂=-a₁+4=-a+4；
a₃∈（0，1）所以a₃=a₂-3=-a+1；
a₄∈（3，4）所以a₄=-a₃+4=a+3，
a₅∈（0，1）所以a₅=a₄-3=a
（Ⅱ）证明：①当0＜a_n≤3时，a_n+1=-a_n+4，所以1≤a_n+1＜4．
②当3＜a_n＜4，a_n+1=a_n-3，所以0＜a_n+1＜1．
综上，0＜a_n＜4时，0＜a_n+1＜4
（Ⅲ）解：①若0＜a＜1，由（I）知a₅=a₁，所以k=4
因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，a_n+k=a_n成立
②若1≤a＜2，则a₂=-a+4，且a₂∈（2，3]a₃=-a₂+4=-（-a+4）+4=a=a₁，所以k=2
因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，a_n+k=a_n成立
③若a=2，则a₂=a₃=a₄=2，所以k=1，
因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，a_n+k=a_n成立
综上，若0＜a＜1，则k=4m；1≤a＜2，则k=2m；若a=2，则k=m．m∈N*

点评：考查学生会利用数列的递推式解决数学问题，会进行不等式的证明，掌握利用分类讨论的数学思想解决问题的能力．