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如图,已知椭圆C,动圆C1.点A1,A2分别为C的左右顶点,C1与C相交于A,B,C,D四点.
(I)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;
(II)设动圆C2与C0相交于A',B',C',D'四点,其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等,证明:为定值.

【答案】分析:(I)设出线A1A的方程、直线A2B的方程,求得交点满足的方程,利用A在椭圆C上,化简即可得到M轭轨迹方程;
(II)根据矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等,可得A,A′坐标之间的关系,利用A,A′均在椭圆上,即可证得=a2+b2为定值.
解答:(I)解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
∵A1(-a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为
直线A2B的方程为
由①×②可得:
∵A(x1,y1)在椭圆C上,


代入③可得:

(II)证明:设A′(x3,y3),
∵矩形ABCD与矩形A'B'C'D'的面积相等
∴4|x1||y1|=4|x3||y3|
=
∵A,A′均在椭圆上,
=
=

∵t1≠t2,∴x1≠x3



=a2+b2为定值.
点评:本题考查轨迹方程,考查定值问题的证明,解题的关键是设出直线方程,求出交点的坐标,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的焦点和上顶点分别为F1、F2、B,我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似的,则称这两个椭圆是“相似椭圆”,且三角形的相似比即为椭圆的相似比.
(1)已知椭圆C1
x2
4
+y2=1和C2
x2
16
+
y2
4
=1,判断C2与C1是否相似,如果相似则求出C2与C1的相似比,若不相似请说明理由;
(2)已知直线l:y=x+1,在椭圆Cb上是否存在两点M、N关于直线l对称,若存在,则求出函数f(b)=|MN|的解析式.

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如图,已知椭圆C:
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1(0,c)、F2(0,-c)(c>0),抛物线P:x2=2py(p>0)的焦点与F1重合,过F2的直线l与抛物线P相切,切点E在第一象限,与椭圆C相交于A、B两点,且
F2B
=λ
AF2

(1)求证:切线l的斜率为定值;
(2)若动点T满足:
ET
=μ(
EF1
+
EF2
),μ∈(0,
1
2
)
,且
ET
OT
的最小值为-
5
4
,求抛物线P的方程;
(3)当λ∈[2,4]时,求椭圆离心率e的取值范围.

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如图,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的离心率e=
3
2
,F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点,A(0,b),且
F1A
F2A
=-2过左焦点F1作直线l交椭圆于P1、P2两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l的倾斜角a∈[
π
3
3
],直线OP1,OP2与直线x=-
4
3
3
分别交于点S、T,求|ST|的取值范围.

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如图,已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点为F1(1,0)、F2(-1,0),离心率为
2
2
,过点A(2,0)的直线l交椭圆C于M、N两点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)①求直线l的斜率k的取值范围;
②在直线l的斜率k不断变化过程中,探究∠MF1A和∠NF1F2是否总相等?若相等,请给出证明,若不相等,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•梅州一模)如图,已知椭圆C:
x2
a2
+y2=1(a>1)的上顶点为A,右焦点为F,直线AF与圆M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)不过点A的动直线l与椭圆C相交于PQ两点,且
AP
AQ
=0.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.

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