Question

【题目】已知椭圆，抛物线的准线与椭圆交于两点，过线段上的动点作斜率为正的直线与抛物线相切，且交椭圆于两点.

（Ⅰ）求线段的长及直线斜率的取值范围；

（Ⅱ）若，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）椭圆方程和抛物线方程联立，求出两点的坐标，直接求出线段的长利用导数求出抛物线的切线的斜率，求出切线方程，利用动点的横坐标的取值范围可以求出直线斜率的取值范围；

（Ⅱ）切线方程与椭圆方程联立，利用根与系数关系，结合弦长公式，可求两点距离，以及点到直线的距离，利用面积公式，求出面积的表达式，利用换元法、求出求面积的最大值.

（Ⅰ）由题意得：，，所以，

设直线与抛物线切于，∵，∴，则切线方程为，当时，，.

（Ⅱ）切线与椭圆联立，

∴，，

得，，

令，

.

当且仅当.

解法二：同上联立

，

当且仅当.