Question

f（x）=（a+bx）ⁿ（n?N^*）
（1）当a=

1

4

，b=2时，展开式前3项的二项式系数和为37，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）当时a=0，b=

1

2

，n=2时，y=f（x）与过点K（0，-1）的直线l相交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为D．证明：点F（0，1）在直线BD上．

Answer 1

考点：二项式定理

专题：二项式定理

分析：（1）由得

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=37，求得n=8，可得展开式中二项式系数最大的项为第五项，再根据通项公式求得该项的系数．
（2）设点A（x₁，y₁），B（ x₂，y₂），D （-x₁，y₁），直线l的方程为y=kx-1，把直线l的方程和f（x）的解析式联立方程组，利用韦达定理求得x₁+x₂=4k，x₁•x₂=4，可得直线BD的方程，由于点F的坐标满足BD的方程，得到点F在直线BD上．

解答： 解：（1）对于f（x）=（a+bx）ⁿ（n?N^*），当a=

1

4

，b=2时，由展开式前3项的二项式系数和为37，
可得

C

0 n

+

C

1 n

+

C

2 n

=37，求得n=8，∴展开式中二项式系数最大的项为第五项 T₅=

C

4 8

•(

1

4

)4•2⁴•x⁴=

35

8

x⁴，
故展开式中二项式系数最大的项的系数为

35

8

．
（2）解：设点A（x₁，y₁），B（ x₂，y₂），D （-x₁，y₁），直线l的方程为y=kx-1，
由

y=kx-1 x2=4y

 可得x²-4kx+4=0，∴x₁+x₂=4k，x₁•x₂=4，
故直线BD的方程为 y-y₁=

y2-y1

x2-x1

（x+x₁），即 y-

x12

4

=

x2-x1

4

（x+x₁），
令x=0可得y=

x1•x2

4

=1，故点F在直线BD上．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，用点斜式求直线的方程，证明点在直线上的方法，属于基础题．