【题目】已知函数为自然对数的底数).
(1)求函数的值域;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围;
(3)证明:.
【答案】(1);(2);(3)证明见解析.
【解析】
(1)先对函数求导,判断出函数单调性,进而可得出值域;
(2)先由题意,将问题转化为对任意恒成立,构造函数,对函数求导,用导数方法判断其单调性,求其最小值,即可得出结果.
(3)令,对函数求导,用导数方法研究其单调性,求其最小值,只需最小值大于0即可.
(1)因为,
所以,
∵,∴,
∴,所以,
故函数在上单调递减,函数的最大值为;
的最小值为,
所以函数的值域为.
(2)原不等式可化为 …(*),
因为恒成立,故(*)式可化为.
令,则,
当时,,所以函数在上单调递增,故,所以;
当时,令,得,
所以当时,;当时,.
所以当,即时,函数成立;
当,即时,函数在上单调递减,,解得
综上,.
(3)令,则.
由,故存在,使得,
即 .
所以,当时,;当时,.
故当时,函数有极小值,且是唯一的极小值,
故函数
,
因为,所以,
故,
即.
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【题目】已知圆C经过A(5,3),B(4,4)两点,且圆心在x轴上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若直线l过点(5,2),且被圆C所截得的弦长为6,求直线l的方程.
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【题目】给定直线m:y=2x-16,抛物线C:y2=ax(a>0).
(1)当抛物线C的焦点在直线m上时,确定抛物线C的方程;
(2)若△ABC的三个顶点都在(1)所确定的抛物线C上,且点A的纵坐标y=8,△ABC的重心恰在抛物线C的焦点上,求直线BC的方程.
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【题目】已知抛物线的焦点为,直线,点,是抛物线上的动点.
(1)求的最小值及相应点的坐标;
(2)点到直线距离的最小值及相应点的坐标;
(3)直线过点与抛物线交于、两点,交直线于点,若,,求的值.
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【题目】在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是梯形,AB∥DC,AD⊥DC,AB=AD=2,DC=3,平面PDC⊥平面ABCD,E在棱PC上且PE=2EC。
()证明:BE∥平面PAD;
(1)若ΔPDC是正三角形,求三棱锥P-DBE的体积。
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【题目】某厂家拟在2020年举行促销活动,经调查测算,某产品的年销售量(即该厂的年产量)万件与年促销费用万元,满足(为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1万件,已知2020年生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件,该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金).
(1)将2020年该产品的利润(万元)表示为年促销费用(万元)的函数;
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?
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