Question

【题目】已知函数fk（x）=2x﹣（k﹣1）2﹣x（k∈Z），x∈R，g（x）= ．
（1）若f2（x）=2，求x的值．
（2）判断并证明函数y=g（x）的单调性；
（3）若函数y=f0（2x）+2mf2（x）在x∈[1，+∞）上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得：

由题意， ∴ ，

∴（2x）2﹣2（2x）﹣1=0

∴ ，或 （舍去）∴

（2）解： ，

∵当x变大时，4x+1变大， 也变大，g（x）变大

∴g（x）在R上单调递增．

证明：任取x1，x2∈R，且x1＜x2

则f（x1）﹣f（x2）= =

= =

∴x1＜x2

∴

∴ ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0

∴f（x1）＜f（x2）

∴f（x）在R上是增函数

（3）解：y=f0（2x）+2mf2（x）=22x+2﹣2x+2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2+2+2m（2x﹣2﹣x）

令t=2x﹣2﹣x，则t在R上单调递增．

∵x∈[1，+∞），∴

条件等价于 在x∈[1，+∞）上有零点，

即： 在 上有零点

令 任取 ，

则

∵ ∴ ∴h（t1）﹣h（t2）＜0∴h（t1）＜h（t2）

∴h（t）在 上单调递增

∴当 时， ，即

所以，

【解析】1、由代入特殊值可得 f2 ( x ) = 2 x 2 x = 2 ∴ 2 x 1 2 x = 2 ，∴（2x）2﹣2（2x）﹣1=0，由指对互化可得结果。
2、由函数的增减性定义可得该函数为增函数。
3、整体思想代换令t=2x﹣2﹣x， t ≥ 即 2 m = = t +在 t ≥ 上有零点,.令 h ( t ) = t + ， t ∈ [ ， + ∞ ) 任取 3 2 ≤ t1 < t2 ,则 h ( t1 ) h ( t2 ) =,由增减函数的定义可得h（t）在 [ ， + ∞ ) 上单调递增，所以， m ≤
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能得出正确答案．