Question

已知tanα，tanβ是一元二次方程2mx²+（4m-2）x+2m-3=0的两个不等实根，求函数f（m）=5m²+3mtan（α+β）+4的值域．

Answer 1

分析：因为tanα，tanβ是一元二次方程2mx²+（4m-2）x+2m-3=0的两个不等实根，所以利用韦达定理表示出两根之和和两根之积，然后利用两角和的正切函数公式化简tan（α+β），把表示出的tanα+tanβ和tanαtanβ代入即可得到关于m的关系式，把关于m的关系式代入f（m）中，得到f（m）关于m的二次函数，然后再根据一元二次方程有两个不相等的实根，所以得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围，根据自变量m的范围即可求出f（m）的值域．

解答：解：由已知，有tanα+tanβ=

1-2m

m

，tanα•tanβ=

2m-3

2m

，
∴tan(α+β)=

2-4m

3

．
又由△＞0，知m∈(-

1

2

，0)∪(0，+∞)，
∴f(m)=5m2+3m•

2-4m

3

+4=(m+1)2+3．
∵当m∈(-

1

2

，0)∪(0，+∞)时f（m）在两个区间上都为单调递增，
故所求值域为(

13

4

，4)∪(4，+∞)．

点评：此题考查学生灵活运用两角和的正切函数公式及韦达定理化简求值，会根据自变量的范围求出二次函数相对应的值域范围，掌握二次函数的图象与性质，是一道综合题．