Question

18£®ÔÚ¡÷ABCÖУ¬a£¬b£¬c·Ö±ðÊǽÇA£¬B£¬CµÄ¶Ô±ß£®
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Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÀûÓÃÁ½½ÇºÍ¹«Ê½¶ÔµÈʽ½øÐл¯¼òÕûÀí£¬ÇóµÃ$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$£¬ÀûÓÃÕýÏÒ¶¨Àíת»¯³É½ÇµÄÕýÏÒ£¬½ø¶øÔ¼·ÖÇóµÃsin2A=sin2B£¬½ø¶øÈ·¶¨A£¬BµÄ¹Øϵ£¬È·¶¨Èý½ÇÐεÄÐÎ×´£®
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½â´ð ½â£º¡ß¶ÔÓÚ£¨1£©£º£¨a²-b²£©sin£¨A+B£©=£¨a²+b²£©sin£¨A-B£©£®
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ÕûÀíÇóµÃa²cosAsinB=b²sinAcosB£¬
¼´£º$\frac{sinAcosB}{cosAsinB}$=$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{si{n}^{2}A}{si{n}^{2}B}$£¬
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¼´2sinAcosB+cosBsinC+sinBcosC=0£¬
¡à2sinAcosB+sin£¨B+C£©=2sinAcosB+sinA=0£¬¼´sinA£¨2cosB+1£©=0£¬
ÓÖ0£¼A£¼¦Ð£¬¡àsinA¡Ù0£¬ÔòcosB=-$\frac{1}{2}$£¬
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¼´13=a²+c²+ac¡Ý3ac£¬¼´ac¡Ü$\frac{13}{3}$£¬
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Ôò¡÷ABCÃæ»ý×î´óֵΪ$\frac{13\sqrt{3}}{12}$£®
¶ÔÓÚ£¨4£©£º¡ß$\sqrt{3}$tanA•tanB-tanA-tanB=$\sqrt{3}$£¬
¡à$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=-$\sqrt{3}$£¬¼´tan£¨A+B£©=-tanC=-$\sqrt{3}$£¬
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Ôò¡ÏC=$\frac{¦Ð}{3}$£»
¡ß¡ÏAÓë¡ÏBΪÈñ½Ç£¬ÇÒ¡ÏA+¡ÏB=¦Ð-¡ÏC=$\frac{2¦Ð}{3}$£¬¼´¡ÏB=$\frac{2¦Ð}{3}$-¡ÏA£¬
¡à$\frac{¦Ð}{6}$£¼¡ÏA£¼$\frac{¦Ð}{2}$£¬
¡à$\frac{¦Ð}{6}$£¼2¡ÏA-$\frac{¦Ð}{6}$£¼$\frac{5¦Ð}{6}$£¬
¡ßc=2£¬sinC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$£¬
¡àÓÉÕýÏÒ¶¨Àí$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$µÃ£ºa=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinA£¬b=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sinB£¬
¡àa²+b²=$\frac{16}{3}$£¨sinA+sinB£©=$\frac{16}{3}$[sinA+sin£¨$\frac{2¦Ð}{3}$-A£©]=$\frac{16}{3}$+$\frac{8}{3}$sin£¨2A-$\frac{¦Ð}{6}$£©£¬
¡ß$\frac{¦Ð}{6}$£¼2¡ÏA-$\frac{¦Ð}{6}$£¼$\frac{5¦Ð}{6}$£¬
¡à$\frac{1}{2}$£¼sin£¨2A-$\frac{¦Ð}{6}$£©¡Ü1£¬¼´$\frac{20}{3}$£¼$\frac{16}{3}$+$\frac{8}{3}$sin£¨2A-$\frac{¦Ð}{6}$£©¡Ü8£¬
Ôòa²+b²µÄ·¶Î§Îª£¨$\frac{20}{3}$£¬8]£®

µãÆÀ ´ËÌ⿼²é½âÈý½ÇÐεÄÓ¦Óã¬ÀûÓÃÁ½½ÇºÍÓë²îµÄÕýÏÒº¯Êý¹«Ê½£¬ÕýÏÒ¶¨Àí£¬ÓàÏÒ¶¨Àí£¬ÒÔ¼°Á½½ÇºÍÓë²îµÄÕýÇк¯Êý¹«Ê½£¬ÊìÁ·ÕÆÎÕ¹«Ê½¼°¶¨ÀíÊǽⱾÌâµÄ¹Ø¼ü£®