Question

已知函数f（x）=ax²-x（a∈R，a≠0），g（x）=1nx．
（1）若函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点M，N，求a的取值范围；
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函数y=g（x）图象上的两点．平行于AB的切线以 P（x₀，y₀）为切点，求证：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）通过等价转化把问题转化为：函数y=a与y=

x+lnx

x2

的图象有两个不同的交点，进而通过导数法分析函数y=

x+lnx

x2

得结论．
（2）利用某点处的切线斜率等于其导数值得特点建立关系式，通过作差法构造函数来比较大小．

解答：解：（1）函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点?方程f（x）=g（x）有两个不等的实根
?ax²-x=1nx有两个不等的实根?a=

x+lnx

x2

有两个不等的实根
?函数y=a与y=

x+lnx

x2

的图象有两个不同的交点．
令r（x）=

x+lnx

x2

，则r′（x）=

( 1 x +1)x2-2x(x+lnx)

x4

=

1-x-2lnx

x3

当0＜x＜1时，r′（x）＞0，则r（x）单调递增，且r（e^-1）=

-1+e-1

e-2

＜0，
当x＞1时，r′（x）＜0，则r（x）单调递减，且

x+lnx

x2

＞0，
所以r（x）在x=1处取到最大值r（1）=1
所以要使函数y=a与y=

x+lnx

x2

的图象有两个不同的交点．只需0＜a＜1
（2）由已知：过点P的切线的斜率为k=

1

x0

=

y1-y2

x1-x2

，所以x0=

x1-x2

y1-y2

x0-x1=

x1-x2

y1-y2

-x1=

x2-x1-x1(y2-y1)

y2-y1

=

x2-x1-x1ln x2 x1

ln x2 x1

设t=

x2

x1

得x0-x1=

x1(t-1-lnt)

lnt

(t＞1)，构造函数y=t-1-lnt，
当t≥1时，y′=1-

1

t

=

t-1

t

≥0，所以函数y=t-1-lnt在t≥1时是增函数．
于是t＞1时，t-1-lnt＞0，则x₀-x₁＞0即x₀＞x₁成立．
同理可证x₂＞x₀成立．
故有x₁＜x₀＜x₂．

点评：本题为函数与导数的综合应用，构造函数利用导数研究其特性是解决问题的关键，属中档题．