Question

已知函数 
（1）求的单调区间和极值；
（2）当m为何值时，不等式 恒成立？
（3）证明：当时，方程内有唯一实根．
（e为自然对数的底；参考公式：．）

Answer 1

（1）内是减函数，在（1－m，+∞）内是增函数，当等于1－m时，函数有极小值1－m．（2）m≤1．（3） 详见解析.

试题分析：（1）求导即得.（2）要不等式 恒成立，只需的最小值≥0即可.（3） 要证明方程内有唯一实根，需要证明以下两点：第一、在上是单调函数，第二、.
试题解析：（1）．
∵         2分
∴内是减函数，在（1－m，+∞）内是增函数，当等于1－m时，函数有极小值1－m．                          4分
（2）由（1）知，在定义域内只有一个极值点，所以的最小值就是1－m，从而当1－m≥0时，不等式≥0恒成立                6分
故所求的实数m的取值范围是m≤1．                     8分
（3）∵m>1，．                 9分
又               10分
∵

∴．                           12分
根据第1小问的结论，在（1－m，+∞）内是增函数,因此，方程在区间内有唯一的实根              13分